Selectivo para la Olimpiada Matemática de Países del Cono Sur

El Primer Examen Selectivo para La XXIV Olimpiada Matemática de Países  del Cono Sur se realizará el día 16 de febrero en la PUCP a las 9:00 am. Como años anteriores, este primer examen servirá para seleccionar al grupo de alumnos que podrá presentarse a los siguientes dos exámenes. En base a las notas de los tres exámenes se seleccionará a los 4 alumnos peruanos que nos representará en esta Olimpiada, que en este año se realizará en Paraguay.

Este año 2013 será La XXIV Olimpiada Matemática de Países del Cono Sur en Paraguay

Se tomó la decisión de adelantar los exámenes selectivos (también los de la IMO e Ibero) por dos motivos: (1) que haya más tiempo para buscar financiamiento para la compra de pasajes y (2) va a haber entrenamiento en conjunto para las delegaciones, cosa que no se hacía desde hace mucho tiempo.

Fuente: Jorge Tipe
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Problema MYO 299 Problema 2 de XXIII Olimpiada Paises del Cono Sur

Enlace Relacionado Problema MYO 298 

 Solución (1) por Rubén Darío 

Una demostración a un problema que creó en los 90 Rubén Dario

 

 Solución al problema por Rubén Darío

Solución (2)  por Ivan ( del grupo OMA foros)

solución (3) de Leo (también del grupo OMA foros) 

Extendemos AQ hasta que corte a BC en E.
Extendemos BR hasta que corte AB en F.

Lo primero que vamos a hacer es demostrar que EPF es recto. Para demostrar esto, vamos a demostrar que los triángulos ECP y PDF son iguales. Si son iguales tenemos que EAC + DAF =90º => EAF = 90º
Observemos que los triángulos ABE y ACE son iguales, ya que tienen los 3 ángulos iguales, son rectángulos y uno de los catetos mide el lado del cuadrado. Entonces tenemos BE = CP
De la misma manera vemos que los triángulos PDA y BAF son iguales y en particular DP = AF
Tenemos que DP + PC =Lado del cuadrado. AF = DP, y AF +FD = Lado del cuadrado, entonces FD = PC. De manera análoga se observa que EC = PD.
Entonces los triángulos que queríamos demostrar que son iguales (PCE y PDF) son rectángulos y tienen los dos respectivos catetos iguales, por lo tanto son iguales y EPF =90º

Llamamos a EPC = X => DPF = 90-X
Viendo que el cuadrilátero EQPC es cíclico (por tener los ángulos opuestos de 90º), por arco capaz ECP = EQC = X, por opuestos por el vértice EQC = SQA = X, y esta última igualdad la remarcamos (*)

Al ser FDP rectángulo y DPF = 90-X => PFD = X. Por ser el cuadrilátero RFDP cíclico (por tener los ángulos opuestos de 90º), por arco capaz DRP = DFP = X, por opuestos por el vértice DRP = ARS =X (*2)

Por (*) y (*2) tenemos que X = ARS = SQA => el cuadrilátero SQRA es cíclico.
Pero también tenemos que BQA = BRA = 90º, entonces BQRA también es cíclico.

Estos dos últimos cuadriláteros con cíclicos y comparte 3 vértices, entonces los 5 vértices son concíclicos.

En particular ASBQ es cíclico, pero tenemos que BQA = 90º, entonces, porque los opuestos suman 180, ASB = 90º que es lo que queríamos demostrar.

Solución(4) de Milton Donaire Peña

Solución (5) Comentario de Julio Orihuela:

La solución por pascal la hizo en el examen raulito...hay una solución de un ecuatoriano por inversión... sea M la proyección de P sobre AB, sea K la circunferencia circunscrita al cuadrado ABCD, la circunf. de inversión, se invierte la circunferencia de diámetro AB, se prueba facil que M y S son inversos