Olimpiada Asia Pacífico APMO 2012

La Olimpiada Matemática Asia-Pacífico (APMO) 2012, en nuestro país, se llevará a cabo el día lunes 12 de marzo de 2012 en la Pontifica Universidad Católica del Perú (PUCP), desde las 15:00 hasta las 19:00. (4 horas)

Según el reglamento los requisitos de participación son:

Los participantes no deben estar formalmente inscritos en una universidad (o institución educativa post-secundaria) y deben ser menores de 20 años al 1° de Julio del año del 2012.
La inscripción la deben hacer los profesores y/o tutores, recuerden que al igual que el año pasado deben hacer un pago de S/ 5.00 por alumno inscrito en el banco BBVA Continental. El enlace para la inscripción es:
http://campusvirtual.pucp.edu.pe/pucp/procinsc/jsp/Inscripcion.jsp?t=053&i=867
Esta Olimpiada tiene cerca de 23 años de existencia, empezó por el año 1989, en aquel entonces Perú participaba solamente en la IMO y en la IBERO, aqui les dejo el enlace para que puedan ver la primera prueba, APMO 1989  y acá el examen del año pasado Prueba 2011 donde Perú fue campeón por encima de muchos paises como Rusia, Japón, Taiwan, etc.

EXAMEN 2011 APMO

Tiempo: 4 horas

 Cada problema vale 7 puntos

* Los problemas del concurso se mantendrán en absoluta reserva, hasta que se publiquén en la junta especial de APMO o en la  página web (http://www.mmjp.or.jp/competitions/APMO). Por favor, no divulgar, ni hablar de los problemas a través de Internet hasta esa fecha. Las calculadoras no están autorizados a utilizar.

Problema 1. Sean a, b, c  números enteros positivos. Probar que es imposible tener  los tres números.
a^2 + b + c, b^2+ c + a, c^2 + a + b cuadrados perfectos.

Problema 2. Cinco puntos A1; A 2, A 3, A 4; A5 se encuentran en un plano de tal manera que 3 de ellos no se encuentran en una misma línea recta. Determinar el valor máximo posible que puede tomar un angulo AiAj Ak donde i, j, k son números enteros distintos entre 1 y 5


Problema 3. Sea un triángulo acutángulo ABC, con la medida del ángulo BAC = 30º, las bisectrices interior y exterior del ángulo ABC encuentran a la recta CA en B1 y B2 , respectivamente; las bisectrices interior y exterior del ángulo ACB encuentran a la recta AB en C1 y C2 , respectivamente. Suponga que las circunferencias con diámetros B1B2 y C1C2 se encuentran en un punto P de la región interior al triángulo . Pruebe que la medida del ángulo BPC es 90º.

Problem 4. Let n be a xed positive odd integer. Take m + 2 distinct points P0; P1; ; Pm+1 (where m is a non-negative integer) on the coordinate plane in such a way that the following 3 conditions are satis ed:

(1) P0 = (0; 1); Pm+1 = (n + 1; n), and for each integer i, 1≤.i ≤.m, both x- and
y- coordinates of Pi are integers lying in between 1 and n (1 and n inclusive).
(2) For each integer i, 0 ≤ i  ≤  m, PiPi+1 is parallel to the x-axis if i is even, and
is parallel to the y-axis if i is odd.
(3) For each pair i; j with 0, i  ≤ j  ≤  m, line segments PiPi+1 and Pj Pj+1 share
at most 1 point.
Determine the maximum possible value that m can take.

Problem 5. Determine all functions f : R -> R, where R is the set of all real numbers, satisfying the following 2 conditions:
(1) There exists a real number M such that for every real number x, f(x) < M is satis ed.
(2) For every pair of real numbers x and y,
f(xf(y)) + yf(x) = xf(y) + f(xy)
is satis ed
Examen APMO 2011
su solución : Solución APMO 2011
Así que ya están avisados, participen y como siempre a triunfar.
El administrador de Matemáticas y Olimpiadas.
Fuente ONEM