Problema MYO 335
Soluciones de:
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Erico Freddy Ahora en adelante estrarán en Matemáticas y olimpiadas: http://www.matematicasyolimpiadas.org/...
Socram Reyes En gogeometry se preguntó una vez lo siguiente:
Sean D y E los pies de las A y B- alturas de tr ABC. Pruebe que el circuncentro de tr DEC es el ortocentro de ABC.
http://gogeometry.blogspot.com/...
Usando ese hecho en la configuración de Ruben, este problema es trivial.
Sean D y E los pies de las A y B- alturas de tr ABC. Pruebe que el circuncentro de tr DEC es el ortocentro de ABC.
http://gogeometry.blogspot.com/...
Usando ese hecho en la configuración de Ruben, este problema es trivial.
Socram Reyes Buen amigo, en su diagrama P es circuncentro del cuadrilátero cíclico GHDC, luego GD y HC son alturas.
Miguel Ochoa Sanchez MI
RESOLUCION AL PROBLEMA DE LA OLIMPIADA IBEROAMERICANA:Es conocido que
MN contiene a la simediana del triangulo CND, completando ángulos el
cuadrilátero CABD: es cíclico luego AB es antiparalela con CD por lo
tanto AM=MB
Socram Reyes Por cierto, mi buen amigo Rubén, para ser más explícito en la demostración veamos lo siguiente:
Sea PQR un triángulo cualquiera y M el punto medio de PQ.
La circunferencia de centro M y diámetro PQ corta a PR en U y QR en V.
El resultado del link muestra que el circuncentro de tr UVR es el punto medio de RH (H es ortocentro de tr PQR).
Con esta información en mente, podemos fundamentar la configuración de atrás hacia adelante, aunque nunca será tan contundente como la prueba de Miguel.
Sea PQR un triángulo cualquiera y M el punto medio de PQ.
La circunferencia de centro M y diámetro PQ corta a PR en U y QR en V.
El resultado del link muestra que el circuncentro de tr UVR es el punto medio de RH (H es ortocentro de tr PQR).
Con esta información en mente, podemos fundamentar la configuración de atrás hacia adelante, aunque nunca será tan contundente como la prueba de Miguel.
Ruben Dario CREO
QUE ESTA SOLUCIÓN ES MAS VISUAL. SIN USAR ORTOCNETRO , NI CIRCUNCENTRO ,
NI SIMEDIANA , NI CICLICO SOLO ANGULOS Y UNA SEMEJANZA ELEMENTAL
Socram Reyes Finalmente, acá la demo que postié en AoPS
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php...
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php...
Josué García Piscoya Es
enserio? Esto una pregunta de 2? Trazamos paralela a XY por N. Por el
punto de Georgone, se ve fácilmente NC, NP, ND y la línea última
trazada, forman haz armónico :S. Por lema conocido, del haz armónico,
AM=MB... :S
Silver Samuel Palacios Paulino Muy bueno el problema . Yo lo resolví por eje radical . Intentaré otra manera . Gracias por el problemita
Lelia Nicula Nice
problem (frumoasa problema - in limba romana). In my opinion this
problem has the level ON3) ! Prove easily that the line AB is an
antiparallel direction to CD in the triangle CND , i.e. NA.NC=NB.ND (R1)
(the quadrilateral ABDC is cyclically). Denote the intersection S
between CD and NP . We know that the ray [NS is N-symmedian of the
triangle NCD , i.e. SC/SD=(NC/ND)^2 (R2) . Using the relations R1 ,
R2 and an well-known metrical relation for the estimate of the ratio
MA/MB obtain that
MA/MB=(SC/SD).(NA/NB).(ND/NC)=(NC/ND)^2.(NA/NB).(ND/NC)=(NC/ND).(NA/NB)=(NC.NA)/(ND.NB)=1
, i.e. MA=MB . Generally, if T is the intersection between XY and the
tangent TT to the circumcircle of the triangle CND , then prove
similarly that there is the relation MA/MB=TA/TB , i.e. the division
(A,B;M,T) is harmonically. Indeed, denote z=m( NA/NB=(TA sin
y)/(TB sin x) . Prove easily that NC/ND=sin x/sin y . In conclusion,
MA/MB=(SC/SD).(NA/NB).(ND/NC)=(NC/ND)^2.(NA/NB).(ND/NC)=(NC/ND).(NA/NB)=(\sin
x/sin y).(TA sin y/TB sin x) ==> MA/MB=TA/TB .
Carlos Hugo Olivera Díaz Rubén
Darío , la primera resolución geométrica es de menos trazos, más
limpia. Hemos coincidido; buscare otra y te aviso si hay suerte .
Felicitaciones .
Erico Freddy Palacios Loayza Un detalle del amigo Ricardo Barroso Campos A y B fuera del diametro XY, bienvenido Ricardo por tus aportes.
Erico Freddy Palacios Loayza Solución de Ricardo Barroso Campos utilizando coordenadas cartesianas, desde Sevilla España. http://personal.us.es/.../solbarroso2oim2013.pdf
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