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| Harald Helfgott. Recuerde ese nombre. |
El matemático peruano acaba de hacer historia al
hacer pública su demostración de un
enunciado de importancia central en teoría de números: la conjetura débil de
Goldbach. Este resultado (del que seguramente oiremos más en el futuro) viene a
coronar una trayectoria académica de ensueño. A sus 35 años, Helfgott ya se ha
hecho acreedor, entre otras distinciones, del Premio Leverhulme, otorgado por la
Fundación Leverhulme, del Premio Whitehead, otorgado por la Sociedad Matemática
de Londres, y del Premio Adams, otorgado por la Facultad de matemáticas de
Cambridge y el St. John’s College. Vive actualmente en París y se desempeña como
investigador en el CNRS (Centro Nacional para la Investigación Científica).
Inmediatamente luego de que la noticia rebotara
en las redes (luego de haber sido mencionada por el matemático australiano
Terence Tao en su cuenta
de Google+), lo contactamos y accedió a concedernos por e-mail la siguiente
entrevista:
Alonso Almenara: La conjetura
débil de Goldbach afirma que:
Todo número impar mayor que 5 puede
expresarse como suma de tres números primos.
Tenemos expresada en una línea de texto una
verdad que no había podido ser demostrada por más de 270 años, y que ha sido
descrita por GH Hardy en su famoso discurso de 1921 como uno de los problemas
irresueltos más difíciles de las matemáticas.
Curiosamente, el enunciado es entendible por un
escolar; su demostración, sin embargo, ocupa 133 páginas. ¿Podría intentar
describir para una audiencia de no especialistas algunas de las razones por las
que esta demostración ha eludido a los matemáticos por tanto tiempo?
Harald Helfgott: Primero – se
logró progresar muy poco antes del siglo XX. El primer gran paso fue tomado por
Hardy y Littlewood, en 1923; fueron ellos quienes comenzaron a usar el análisis
de Fourier (“método del círculo”) en la teoría de números. En general, la teoría
analítica de números – la rama que estudia, entre otras cosas, cuántos números
primos hay hasta un número dado, cómo están distribuidos, etc. - comenzó a
florecer recién a fines del siglo XIX.
Los trabajos de Hardy y Littlewood, en 1923, y de
Vinogradov, en 1937, fueron trabajos pioneros, hechos en una época en que varios
conceptos que resultaron ser relacionados a ellos – por ejemplo, la así llamada
“gran criba” – aun no habían sido desarrollados o comprendidos completamente.
Curiosamente, la importancia de “suavizar” funciones antes de usar el análisis
de Fourier era algo comprendido por los analistas, como Hardy-Littlewood, o por
los matemáticos aplicados y físicos, o, probablemente, por los técnicos de su
estación de radio, pero no se volvió un lugar común entre la gente de teoría de
números hasta hace una generación, a lo más.
También se ha requerido bastante tiempo de
cálculo, dado el enfoque que seguí, aunque los requisitos de tiempo de máquina,
si bien considerables, no fueron enormes. Hace 30 años, había computadoras de
suficiente potencia, pero el tiempo de maquina era mucho más costoso, y
conseguir acceso a él hubiera sido una larga labor de política académica. En
consecuencia, los matemáticos seguían rutas un poco distintas al intentar probar
el teorema.
Por lo demás, no es inusual que un problema
matemático quede irresuelto por siglos. Ya los griegos se planteaban preguntas
que fueron resueltas solo en el siglo XIX.
AA: Su trabajo es el paso final
en una serie de avances recientes en la carrera hacia la demostración del
teorema débil de Goldbach. Entre los matemáticos contemporáneos que se han
interesado en ese tema podemos mencionar al medallista Fields Terence Tao, a
quien algunos han catalogado como el matemático más brillante en la actualidad.
Tao es quien más cerca ha estado hasta ahora de lograr lo que usted ha logrado,
y tengo entendido que él ha estado en contacto con usted y ha ratificado su
trabajo. ¿Me podría decir algunas palabras sobre ese contacto entre colegas con
un matemático tan admirado que valora y entiende la magnitud de su
investigación?
HH: Yo diría que Tao me tiene
confianza en esto, y no que lo haya ratificado completamente – ¡todavía tiene
que leerlo! Conoce los métodos que he utilizado, hemos compartido ideas en el
pasado, hemos hablado del problema... También escribimos un artículo junto con
una tercera persona sobre otro tema hace unos años. En estos últimos tiempos,
empero, he hablado más del problema con otra gente – por ejemplo, [Olivier]
Ramaré, quien logró el resultado inmediatamente anterior al de Tao en 1995.
La mayor parte de los medallistas Fields que
conozco son gente sencilla. ¡Los difíciles son los que quisieran volverse
medallistas Fields! Claro, a veces los hábitos quedan... Pero es lo mismo en
cualquier área.
AA: La aproximación que usted ha
usado para lograr estos resultados aún no nos encamina necesariamente hacia una
demostración final del teorema fuerte de Goldbach, que estipula que Todo
número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.
¿Podría decirnos algunas palabras al respecto? ¿Tiene planes de atacar este
problema?
HH: Me parece que el teorema
fuerte de Goldbach es mucho más difícil. Se necesitará un cambio completo de
enfoque. No sé si será resuelto en nuestras vidas.
AA: Aunque usted acaba de dar a
conocer sus resultados hace muy poco, imagino que ya ha habido algunas
reacciones de sorpresa o de escepticismo en la comunidad matemática
internacional. ¿Cómo describiría los comentarios que ha recibido?
HH: En verdad la reacción ha
sido muy positiva. Varios especialistas sabían que yo trabajaba sobre el
problema. Mi trabajo, en general, es conocido en el área, y al parecer se me
tiene confianza.
AA: ¿Cómo se inició en las
matemáticas? ¿De dónde proviene esa pasión?
HH: De la manera aburrida: de la
casa. Mi padre escribió libros de análisis y geometría cuyos borradores leí; mi
madre es estadística. Crecí entre libros, y se me alentó en mis intereses.
Cuando tenía 12 o 13 años, comencé a ir a grupos de jóvenes que se reunían en
San Marcos y la Católica para entrenarse para las competencias (“olimpiadas de
matemática”) a nivel latinoamericano. Pronto se nos hizo claro que la
competencia no era lo más importante – lo importante era aprender juntos, pedir
consejos a estudiantes con más experiencia, y conocer a jóvenes de otros países
con los mismos intereses.
AA: Usted ha desarrollado una
carrera espectacular en los Estados Unidos y Europa; ha ganado importantes
premios y su trabajo ya era conocido en este ámbito en círculos académicos. Sin
embargo, estos nuevos resultados van a darle muy pronto un nivel de visibilidad
distinto. ¿Cómo se siente ahora y cuáles son sus proyectos a futuro?
HH: Creo que se trata de una
buena oportunidad para hacer un poco de divulgación matemática. Ya desde hace
tiempo ayudo a organizar cursillos y escuelas de verano dentro y fuera de
Sudamérica – probablemente ser visible fuera del ámbito matemático facilite
conseguir apoyo.
AA: Este logro que acaba de
hacer público va a inspirar a muchas personas. Entre ellas, a escolares y
jóvenes matemáticos peruanos. ¿Qué recomendaciones les daría a estas personas
que a lo mejor sueñan con embarcarse en una aventura como la suya y dedicar su
vida a la investigación en este campo tan competitivo?
HH: Lo mejor es comenzar pronto,
de preferencia desde la secundaria, y no limitarse a lo que enseñan en la
escuela. Es muy estimulante conseguirse libros con problemas – uno de los
primeros textos serios que leí fue precisamente el librito de Vinogradov, de
teoría de números. Es igualmente importante ponerse en contacto con otros
estudiantes – si uno aprende solo, puede pasar mucho tiempo en cuestiones de
poca importancia; se aprende más rápido discutiendo.
AA: Aunque es difícil prever en
qué contextos se terminará aplicando un aporte como éste, sé que ha habido
avances en la teoría de números que han resultado bastante fructíferos en el
campo de la seguridad de la información. Cada vez que alguien manda un e-mail o
hace una transacción por internet está poniendo a trabajar resultados obtenidos
por alguno de sus colegas. ¿Piensa que sus investigaciones podrían tener un
impacto similar?
HH: Dudo que esto tenga
aplicación alguna a la criptografía. Más bien, para llegar al resultado final,
tuve que mejorar muchas técnicas de varias áreas, algunas de ellas aplicadas.
Por ejemplo, necesitaba cotas explicitas para lo que se conoce como funciones
parabólicas cilíndricas; estas habían sido utilizadas por mucho tiempo por
físicos e ingenieros, pero, si bien había una buena serie de trabajos de
alrededor de 1960, no tenían lo que necesitaba, así que tuve que derivar cotas
explicitas yo mismo. Estas serán de interés para los especialistas de las ramas
aplicadas, quienes ahora, sin duda, retomaran esa parte de mi trabajo y la
mejoraran a su vez. Doy un ejemplo menor pero espero que sea bastante típico.
AA: Cuando lo contacté para
hacerle esta entrevista, usted me comentó que cada vez que pasa por Lima se
vuelve un asiduo oyente de Radio Filarmonía. Me gustaría preguntarle dos cosas
respecto a eso: por un lado, cuáles son los compositores o los géneros musicales
que más le interesan, y por otro si cree que de algún modo su pasión por las
matemáticas tiene una relación con el placer que siente al escuchar música.
¿Hasta qué punto piensa que estos campos están relacionados?
HH: Creo que mi primer contacto
con la música de fines del siglo XIX y comienzos del XX fue a través de radio
Filarmonía, cuando todavía era radio Sol Armonía. El gusto me ha quedado; ahora
mismo estaba escuchando la tercera sinfonía de Roussel.
Hay probablemente más melómanos entre los
matemáticos que en la población en general, o que entre la gente de Letras.
Cuando estaba en la escuela de posgrado, a veces había un concierto de fin de
año solo de la facultad de matemática, en la cual había muchos buenos
intérpretes aficionados. No sé si es un signo de una afinidad profunda o
simplemente una tendencia cultural que se ha propagado a través de la comunidad
matemática internacional. Probablemente haya un poco de los dos.
En lo que se refiere al otro lado – muchos
músicos saben poco de matemática, y la utilidad de la matemática para la
composición ha sido limitada: puede decirse que hay un tanto de matemática en
Bach o Schoenberg, pero de un tipo muy elemental. Hay algunas ideas
explícitamente matemáticas en cierta música de la segunda mitad del siglo XX,
pero no creo que haya convencido mucho ni a las audiencias ni a los
matemáticos.
Es probable que los lazos más fuertes no sean
entre la matemática y la composición o la interpretación, sino entre la
matemática y la teoría musical, el diseño de instrumentos, las técnicas de
grabación... La teoría musical comenzó como parte de la matemática, con
Pitágoras y sus discípulos. Hablé del análisis de Fourier, que no es sino el
análisis de frecuencias, y del método del círculo, que es el análisis de
frecuencias racionales – eso está cerquísima de la música. El timbre de un
instrumento está dado por la intensidad de sus armónicos, aparte del efecto del
ruido. Cuando uno toca “la”, no suena solo éste “la”, a 440 hertzios, sino
también, en menor medida, “la” a 880 hertzios, “mi” a 660 hertzios (660 = 440
multiplicado por 3/2), “fa sostenido” a aproximadamente 735 hertzios (o casi 440
multiplicado por 5/3),... En otras palabras, se trata de la frecuencia principal
multiplicada por racionales de pequeño numerador y denominador. Y, por cierto,
sus oyentes también están aplicando el análisis de Fourier de otra manera: al
sintonizar su frecuencia, están tomando la intensidad del campo electromagnético
alrededor de su antena y aislando el componente de frecuencias en la vecindad
inmediata de 102.7FM, para así poder escuchar solo lo que Vds. transmiten.
Fuente: Filarmonia: La radio cultura del Perú
